Пересечение прямых

---

В евклидовой геометрии пересечение двух прямых может быть пустым множеством, точкой или прямой. Различение этих случаев и поиск точки пересечения используется, например, в компьютерной графике, при планировании движения^[en] и для обнаружения столкновений.

В трёхмерной евклидовой геометрии, если две прямые не лежат в одной плоскости, они называются скрещивающимися и не имеют точек пересечения. Если прямые находятся в одной плоскости, имеется три возможности. Если они совпадают, они имеют бесконечно много общих точек (а именно, все точки на этих прямых). Если прямые различны, но имеют один и тот же наклон, они параллельны и не имеют общих точек. В противном случае они имеют одну точку пересечения.

В неевклидовой геометрии две прямые могут пересекаться в нескольких точках и число непересекающихся с данной прямой других прямых (параллельных) может быть больше единицы.

Необходимым условием пересечения двух прямых является принадлежность их одной плоскости, то есть эти прямые не должны быть скрещивающимися. Выполнение этого условия эквивалентно вырожденности тетраэдра, у которого две вершины лежат на одной прямой, а две другие — на другой (т.е. объём этого тетраэдра равен нулю). Алгебраическую форму этого условия можно посмотреть в статье «Проверка скрещенности».

Рассмотрим пересечение двух прямых ${\displaystyle L_{1}\,}$ и ${\displaystyle L_{2}\,}$ на вещественной плоскости, где прямая ${\displaystyle L_{1}\,}$ определена двумя различными точками ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\,}$ и ${\displaystyle (x_{2},y_{2})\,}$, а прямая ${\displaystyle L_{2}\,}$ — различными точками ${\displaystyle (x_{3},y_{3})\,}$ и ${\displaystyle (x_{4},y_{4})\,}$ ^[1].

---