Повторный предел

---

К функции нескольких переменных ${\displaystyle f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$ можно применить предел по одной из переменных ${\displaystyle \ {{x}_{k}}}$ при фиксированных значениях остальных переменных. Повторный предел — результат выполнения такой операции по каждой переменной.

В то время как предел функции вычисляется при одновременном стремлении всех аргументов к их пределам, повторный предел получается в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности.

Рассмотрим функцию двух переменных ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$, определённую в некоторой проколотой окрестности точки ${\displaystyle \left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)}$. Для каждого фиксированного значения переменной ${\displaystyle x}$ рассмотрим предел:

Будем считать, что ${\displaystyle \varphi \left(x\right)}$ существует и определена для каждого значения ${\displaystyle x}$. В результате получим функцию одной переменной. Теперь рассмотрим предел ${\displaystyle \varphi \left(x\right)}$:

---