Полилинейная алгебра

---

Полилине́йная а́лгебра — раздел алгебры, обобщающий понятия линейной алгебры на функции нескольких переменных, линейные по каждому из аргументов.

Основным объектом полилинейной алгебры является полилинейное (${\displaystyle n}$-линейное) отображение:

где ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{n}}$ и ${\displaystyle W}$ – векторные пространства над определённым полем ${\displaystyle K}$. Условие ${\displaystyle n}$-линейности означает, строго говоря, что для каждого ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ семейство отображений

зависящее от ${\displaystyle n-1}$ переменных ${\displaystyle \{x_{k}|k\neq i\}}$ как от параметров, состоит из линейных отображений. Можно также определить ${\displaystyle n}$-линейное отображение рекурсивно (по индукции), как линейное отображение из ${\displaystyle V_{n}}$ в векторное пространство ${\displaystyle (n-1)}$-линейных отображений.

Алгебраические формы (однородные многочлены на векторных пространствах, задаваемые однородными многочленами от координат вектора) являются важными объектами изучения в линейной алгебре. Наибольший интерес из них представляют квадратичные формы и билинейные формы, но также изучаются и формы высших степеней, полилинейные формы, поликвадратичные формы, некоторые специальные виды форм (полуторалинейные, эрмитовы). Основными вопросами при изучении алгебраических форм являются законы изменения коэффициентов при линейных преобразованиях (заменах координат), способы приведения к каноническому виду посредством линейных преобразований и взаимопредставление форм.^[2]

---