Многочлены Цернике

---

Многочлены Цернике — последовательность многочленов, которые являются ортогональными на единичном круге. Названы в честь лауреата Нобелевской премии, оптика и изобретателя фазово-контрастного микроскопа Фрица Цернике. Они играют важную роль в оптике^[1].

где m и n — неотрицательные целые числа, такие что n≥m, φ — азимутальный угол, а ρ — радиальное расстояние, ${\displaystyle 0\leq \rho \leq 1}$. Многочлены Цернике ограничены в диапазоне от −1 до +1, т.е. ${\displaystyle |Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )|\leq 1}$.

Радиальные многочлены ${\displaystyle R_{n}^{m}}$ определяются как

Переписав дробь с факториалами в радиальной части в виде произведения биномиальных коэффициентов, можно показать, что коэффициенты при степенях ${\displaystyle \rho }$ суть целые числа:

Для выявления рекуррентностей, для демонстрации того факта, что эти многочлены являются частным случаем многочленов Якоби, для записи дифференциальных уравнений и т.д., используется запись в виде гипергеометрических функций:

где параметр ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$ (его иногда называют множителем Неймана) полагают равным 2, если ${\displaystyle m=0}$, и равным 1, если ${\displaystyle m\neq 0}$. Произведение угловой и радиальной частей устанавливает ортогональность функций Цернике по обеим переменным при интегрировании по единичному кругу:

---