Полная линейная группа (иногда используют термин общая линейная группа) относится к двум различным (хотя и тесно связанным) понятиям.
Полная линейная группа векторного пространства V — это группа обратимых линейных операторов вида C: V → V[1]. Роль групповой операции играет обычная композиция линейных операторов.
Полная линейная группа порядка n — это группа обратимых матриц порядка n (то есть квадратных матриц с n строками и n столбцами)[2]. Роль групповой операции играет обычное умножение матриц.
Обычно обозначается GL(n)[3]. Если требуется явно указать, какому полю (или, в более общем случае, коммутативному кольцу с единицей) K должны принадлежать элементы матрицы, то пишут: GL(n, K)[4] или GLn(K).
Так, если рассматриваются матрицы над действительными числами, полная линейная группа порядка n обозначается GL(n, R), а если над комплексными числами, то GL(n, C).
Оба рассмотренных понятия в действительности тесно связаны. Во-первых, квадратную матрицу порядка n можно рассматривать как линейный оператор, действующий на арифметическом векторном пространстве K n (то есть пространстве n-мерных столбцов с элементами из K). Поэтому GL(n, R) = GL(Rn) и GL(n, C) = GL(Cn).