Постулат Бертрана

---

Постулат Бертрана, теорема Бертрана — Чебышёва или теорема Чебышёва гласит, что для любого натурального ${\displaystyle n\geqslant 2}$ найдётся простое число ${\displaystyle p}$ в интервале ${\displaystyle (n;2n).}$

Постулат Бертрана был сформулирован в качестве гипотезы в 1845 году французским математиком Бертраном (проверившим её до ${\displaystyle n=3\cdot 10^{6}}$) и доказан в 1852 году^[1] Чебышёвым.Рамануджан в 1919 году нашёл более простое доказательство и доказал, что количество простых чисел в интервале ${\displaystyle (n;2n)}$ можно ограничить снизу неубывающей последовательностью, которая стремится к бесконечности, такой что в простых числах Рамануджана достигается равенство. Эрдёш в 1932 году ещё более упростил доказательство.

Обобщением постулата Бертрана можно считать теорему о том, что для ${\displaystyle n\geqslant 2k}$ среди чисел ${\displaystyle n-k+1,\dots ,n-1,n}$ всегда существует число с простым делителем больше ${\displaystyle k}$. Это утверждение было доказано Сильвестром в 1892 году. При ${\displaystyle n=2k}$ оно даёт гипотезу Бертрана как частный случай.

Из теоремы о распределении простых чисел следует, что для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует число ${\displaystyle n_{0}}$ такое, что для любых ${\displaystyle n\geqslant n_{0}}$ существует простое число ${\displaystyle p}$, удовлетворяющее ${\displaystyle n<p<(1+\varepsilon )n}$. Более того, для фиксированного ${\displaystyle \varepsilon }$ количество простых чисел в этом интервале стремится к бесконечности с ростом ${\displaystyle n}$^[2]. В частности, например, при ${\displaystyle n\geqslant 25}$ всегда найдётся простое число между ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle {\frac {6}{5}}n}$^[3].

---