Простые числа Рамануджана

---

Простые числа Рамануджана — подпоследовательность простых чисел, связанная с теоремой Рамануджана, уточняющей постулат Бертрана относительно функции распределения простых чисел.

для всех ${\displaystyle x\geqslant 2}$, где ${\displaystyle \pi (x)}$ — функция распределения простых чисел, равная числу простых не превосходящих ${\displaystyle x}$. Эта гипотеза была доказана Чебышёвым в 1850 году. В 1919 году Рамануджан, отметив приоритет Чебышёва, доказал в двухстраничной статье более сильную теорему, которая и задаёт последовательность простых чисел Рамануджана:^[1]

для всех ${\displaystyle x\geqslant 2,11,17,29,41,\ldots }$ соответственно (последовательность A104272 в OEIS).

Простое число Рамануджана ${\displaystyle R_{n}}$ это наименьшее целое число, что для любого ${\displaystyle x\geqslant R_{n}}$ выполнено

Согласно теореме Рамануджана эта разность для всех ${\displaystyle x\geqslant R_{n}}$ не меньше ${\displaystyle n}$ и стремится к бесконечности.

Следует отметить, что ${\displaystyle R_{n}}$ обязательно является простым числом: ${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)}$, а следовательно и ${\displaystyle \pi (x),}$ должно возрасти, что возможно только если ${\displaystyle R_{n}}$ простое.

---