Функция распределения простых чисел

---

В математике функция распределения простых чисел, или пи-функция ${\displaystyle \pi (x)}$, — это функция, равная числу простых чисел, меньших либо равных действительному числу x.^[1][2] Она обозначается ${\displaystyle \pi (x)}$ (это никак не связано с числом пи).

Большой интерес в теории чисел представляет скорость роста пи-функции.^[3][4] В конце XVIII столетия Гауссом и Лежандром было выдвинуто предположение, что пи-функция оценивается как

где ${\displaystyle \operatorname {li} }$ — это интегральный логарифм. Теорема о простых числах впервые была доказана в 1896 Жаком Адамаром и независимо Валле-Пуссеном, используя дзета-функцию Римана введенную Риманом в 1859.

Точнее рост ${\displaystyle \pi (x)}$ сейчас описывается как

где ${\displaystyle O}$ обозначает O большое. Когда x не сильно велико ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$ больше, чем ${\displaystyle \pi (x)}$, однако разность ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$ меняет свой знак бесконечное число раз, наименьшее натуральное число, для которого происходит смена знака называется числом Скьюза.

Доказательства теоремы о простых числах, не использующие дзета-функцию или комплексный анализ, были найдены в 1948 году Атле Сельбергом и Паулем Эрдёшом (большей частью независимо).^[5]

---