Теорема о распределении простых чисел

---

Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел, которая утверждает, что функция распределения простых чисел ${\displaystyle \pi (n)}$ (количество простых чисел на отрезке ${\displaystyle [1;n]}$) растёт с увеличением ${\displaystyle n}$ как ${\displaystyle {\frac {n}{\ln n}}}$, то есть:

Грубо говоря, это означает, что у случайно выбранного числа от 1 до ${\displaystyle n}$ вероятность оказаться простым примерно равна ${\displaystyle {\frac {1}{\ln n}}}$.

Также эта теорема может быть эквивалентным образом переформулирована для описания поведения ${\displaystyle k}$-го простого числа ${\displaystyle p_{k}}$: она утверждает, что

(здесь и далее запись ${\displaystyle f\sim g}$ означает, что ${\displaystyle f/g\to 1}$ когда аргумент функций стремится к бесконечности).

Более точно распределение простых чисел описывает функция интегрального логарифма. При справедливости гипотезы Римана верно^[1]

Первым статистическую закономерность в расположении простых чисел подметил Гаусс. В письме Энке (1849) он сообщил, что ещё в 1792 или 1793 году, чисто эмпирически, обнаружил, что плотность простых чисел «в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму»^[2]. К этому времени, основываясь на таблицах простых чисел, составленных Фелкелем и Вегой, Лежандр предположил (в 1796 году), что функция распределения простых чисел ${\displaystyle \pi (x)}$ (число простых чисел, не превосходящих x) может быть приближена выражением:

---