Аналитическая теория чисел

---

Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, в котором свойства целых чисел исследуются методами математического анализа. Наиболее известные результаты относятся к исследованию распределения простых чисел и аддитивным проблемам Гольдбаха и Варинга.

Первым шагом в этом направлении стал метод производящих функций, сформулированный Эйлером. Для определения количества целочисленных неотрицательных решений линейного уравнения вида

где ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}}$ — натуральные числа, Эйлер построил производящую функцию, которая определяется как произведение сходящихся рядов (при ${\displaystyle |z|<1}$)

где ${\displaystyle l(N)}$ — число решений изучаемого уравнения.^[1]

которые положили начало использованию тригонометрических сумм^[1]. Основы методов применения тригонометрических сумм к анализу уравнений в целых и простых числах были разработаны Харди, Литтлвудом и Виноградовым.

Работая над доказательством теоремы Евклида о бесконечности простых чисел, Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам и сформулировал тождество:

---