Тригонометрическая сумма

---

Тригонометрическая сумма — это конечная сумма комплексных чисел, геометрически соответствующих векторам на единичной окружности, то есть вида ${\displaystyle e(\varphi ):=\cos \varphi +i\sin \varphi \ .}$

Такие суммы по значениями ${\displaystyle \varphi }$, образованным из множества чисел или элементов группы, изучаются в аналитической теории чисел. Верхние оценки на них позволяют оценивать число решений уравнений с переменными из рассматриваемых множеств.

Геометрические свойства синусов и косинусов из определения ${\displaystyle e(\varphi )}$ не играют в методе ключевой роли. Формула Эйлера

позволяет интерпретировать слагаемые как степени друг друга и использовать для оценки сумм свойства возведения в степень и геометрических прогрессий.

Когда ${\displaystyle \varphi }$ рационально, слагаемое является корнем из единицы. В современной литературе принято обозначение

Суммы с такими слагаемыми используются для изучения множеств значений по модулю ${\displaystyle q}$. Они наиболее популярны.

---