Производящая функция последовательности

---

Производя́щая фу́нкция после́довательности — алгебраическое понятие, которое позволяет работать с разными комбинаторными объектами аналитическими методами. Они дают гибкий способ описывать соотношения в комбинаторике, а иногда помогают вывести явные формулы для числа комбинаторных объектов определённого типа.

Если дана последовательность ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ чисел ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$, то из них можно построить формальный степенной ряд

который называется производящей функцией ${\displaystyle A(t)}$ этой последовательности.

Близким понятием является экспоненциальная производящая функция последовательности ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ — степенной ряд

у которого коэффициент перед ${\displaystyle a_{n}}$ поделён на факториал числа ${\displaystyle n}$.

Зачастую производящая функция последовательности чисел является рядом Тейлора некоторой аналитической функции, что может использоваться для изучения свойств самой последовательности. Однако, в общем случае производящая функция не обязана быть аналитической. Например, оба ряда

---