Преобразование Гильберта

---

Преобразова́ние Ги́льберта в математике и обработке сигналов — линейный оператор, сопоставляющий каждой функции ${\displaystyle u(t)}$ от действительной переменной функцию ${\displaystyle H(u)(t)}$ в той же области с помощью свёртки исходной функции с функцией ${\displaystyle 1/(\pi t)}$. В физике эти соотношения известны как соотношения Крамерса — Кронига, связывающие мнимую и действительную части комплексной функции отклика системы.

Преобразование Гильберта определено следующим образом (здесь v.p. означает главное значение несобственного интеграла по Коши):

Преобразование Гильберта даёт функцию ${\displaystyle H{\big (}u(t){\big )}}$, ортогональную функции ${\displaystyle u(t)}$^[1].

где ${\displaystyle {\mathcal {F}}(u)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }u(t)e^{-i\omega t}\,dt}$— вариант прямого преобразования Фурье без нормировочного множителя.

В следующей таблице параметр частоты ${\displaystyle \omega }$ является действительным числом.

${\displaystyle H(u)(t)}$

---