Соотношения Крамерса — Кронига

---

Соотноше́ния Кра́мерса — Кро́нига (также дисперсио́нные соотноше́ния) — интегральная связь между действительной и мнимой частями любой комплексной функции, аналитичной в верхней полуплоскости. Часто используются в физике для описания связи действительной и мнимой частей функции отклика физической системы, поскольку аналитичность функции отклика подразумевает, что система удовлетворяет принципу причинности, и наоборот^[1]. В частности, соотношения Крамерса — Кронига выражают связь между действительной и мнимой частями диэлектрической проницаемости в классической электродинамике и амплитуды вероятности перехода (матричного элемента) между двумя состояниями в квантовой теории поля. В математике соотношения Крамерса — Кронига известны как преобразование Гильберта.

Для комплексной функции ${\displaystyle \chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )}$ комплексной переменной ${\displaystyle \omega ,}$ аналитичной в верхней полуплоскости ${\displaystyle \omega }$ и стремящейся к нулю при ${\displaystyle |\omega |\rightarrow \infty ,}$ соотношения Крамерса — Кронига записываются следующим образом:

где символы ${\displaystyle v.p.}$ означает взятие интеграла в смысле главного значения (по Коши). Видно, что ${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$ и ${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$ не являются независимыми, а значит, полная функция может быть восстановлена, если задана только её действительная или мнимая часть.

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — непрерывная функция комплексной переменной ${\displaystyle x}$. Оценим сумму интегралов по контурам немного выше и немного ниже действительной оси:

---