Признак Дини

---

Признак Ди́ни — признак поточечной сходимости ряда Фурье. Несмотря на то, что ряд Фурье функции из ${\displaystyle L_{2}([-\pi ,\pi ])}$ сходится к ней в смысле ${\displaystyle L_{2}}$-нормы, он вовсе не обязан сходиться к ней поточечно (даже в случае непрерывной функции). Тем не менее при некоторых дополнительных условиях (например, в случае, когда функция гладкая или хотя бы удовлетворяет условию Гёльдера или Липшица с каким-нибудь положительным показателем) поточечная сходимость всё же имеет место.

Сходимость ряда Фурье в конкретной точке является локальным свойством функции: если две функции совпадают в некоторой окрестности точки ${\displaystyle t}$, то их ряды Фурье в этой точке сходятся или расходятся одновременно.

Признак Дини устанавливает весьма общее условие такой сходимости. Назван в честь итальянского математика Улисса Ди́ни.

Положим для ${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle \omega _{f}(t,\delta )=\sup \limits _{s:|s-t|\leqslant \delta }|f(t)-f(s)|}$.

(модуль непрерывности функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle t}$).

---