В теории колец, простой модуль (также используется название «неприводимый модуль») над кольцом R — это модуль над R, не имеющий ненулевых собственных подмодулей. Эквивалентно, модуль является простым тогда и только тогда, когда любой циклический модуль, порожденный одним его элементом (ненулевым элементом), совпадает со всем модулем. Простые модули служат для построения модулей конечной длины, в этом смысле они похожи на простые группы.
Каждый простой модуль является неразложимым, обратное в общем случае неверно. Также простой модуль является циклическим.
Пусть M и N — модули над одним и тем же кольцом и f : M → N — гомоморфизм модулей. Если M прост, то f либо является нулевым, либо инъективен. Действительно, ядро гомоморфизма должно быть подмодулем. Если же и N прост, то f либо нулевой, либо является изоморфизмом. Следовательно, кольцо эндоморфизмов простого модуля является телом. Этот результат известен как лемма Шура.
Важное достижение теории простых модулей — теорема Джекобсона о плотности (1945). Она утверждает, что
Другими словами, всякое ненулевое простое кольцо, обладающее минимальными правыми идеалами, изоморфно плотному кольцу линейных преобразований конечного ранга некоторого векторного пространства над некоторым телом[3].
В частности, любое примитивное кольцо можно рассматривать как кольцо D-линейных операторов на некотором пространстве.