Процесс Грама ― Шмидта

---

Процесс Грама ― Шмидта преобразует последовательность линейно независимых векторов ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{n}}$ в ортонормированную систему векторов ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{n}}$, причём так, что каждый вектор ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ есть линейная комбинация ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{j}}$.

Пусть имеются линейно независимые векторы ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots ,\;\mathbf {a} _{n}}$ и пусть ${\displaystyle \mathbf {proj} _{\mathbf {b} }\,\mathbf {a} }$ — оператор проекции вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на вектор ${\displaystyle \mathbf {b} }$, определённый как

где ${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }$ — скалярное произведение векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$.

---