Пятиугольное число

---

Пятиугольные числа — один из классов классических многоугольных чисел. Последовательность пятиугольных чисел имеет вид (последовательность A000326 в OEIS):

Общая формула для ${\displaystyle n}$-го по порядку пятиугольного числа:

Пятиугольные числа, как и все прочие классические ${\displaystyle k}$-угольные числа, можно определить как частичные суммы арифметической прогрессии, которая начинается с 1, а разность её для пятиугольных чисел равна ${\displaystyle k-2=3}$:

Можно также определить ${\displaystyle n}$-е пятиугольное число как сумму последовательных натуральных чисел:

Сумма ${\displaystyle n}$-го квадратного числа с ${\displaystyle (n-1)}$-м треугольным числом даёт ${\displaystyle n}$-е пятиугольное число:

Если в формуле ${\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}$ указать для ${\displaystyle n}$ более общую последовательность:

---