Распределение Больцмана

---

В статистической механике и математике распределение Больцмана (реже также называемое распределением Гиббса^[2]) — это распределение вероятностей или вероятностная мера, которая дает вероятность пребывания системы в определённом состоянии в зависимости от энергии этого состояния и от температуры системы. Распределение выражается в виде:

где p_i — вероятность пребывания системы в состоянии i, ε_i — энергия этого состояния, константа kT — произведение постоянной Больцмана k и термодинамической температуры T. Символ ${\textstyle \propto }$ обозначает пропорциональность.

Термин «система» здесь имеет очень широкое значение, от одиночного атома до огромной макроскопической системы, которой может быть, например, резервуар для хранения природного газа. Благодаря этому распределение Больцмана применимо к решению очень широкого круга задач. Распределение показывает, что состояния с более низкой энергией всегда имеют более высокую вероятность быть занятыми.

Распределение названо в честь Людвига Больцмана, впервые сформулировавшего его в 1868 году во время исследований статистической механики газов, находящихся в тепловом равновесии. Статистическая работа Больцмана возникла из его статьи «О связи между второй фундаментальной теоремой механической теории тепла и вероятностными расчетами, касающимися условий теплового равновесия»^[3]. Позднее в 1902 году^:Ch.IV распределение в его современной общей форме для систем с переменным числом частиц подробно исследовал Гиббс.

Обобщенное распределение Больцмана является достаточным и необходимым условием эквивалентности между определением энтропии в статистической механике (формула энтропии Гиббса ${\displaystyle S=-k_{\mathrm {B} }\sum _{i}p_{i}\log p_{i}}$) и определением энтропии в термодинамике (${\displaystyle dS={\frac {\delta Q_{\text{rev}}}{T}}}$ и фундаментальное термодинамическое соотношение)^[4].

Распределение Больцмана не следует путать с распределением Максвелла — Больцмана. Первое дает вероятность того, что система будет находиться в определённом состоянии в зависимости от энергии этого состояния^[5], второе характеризует скорости частиц в идеализированных газах.

---