Резольвента алгебраического уравнения

---

Резольвента алгебраического уравнения ${\displaystyle f(x)=0}$ степени ${\displaystyle n}$ — это алгебраическое уравнение ${\displaystyle g(y)=0}$ с коэффициентами, рационально зависящими от коэффициентов ${\displaystyle f(x)}$, такое, что знание корней этого уравнения позволяет решить исходное уравнение путём решения более простых уравнений (то есть таких, что их степень не больше ${\displaystyle n}$).

Также резольвентой называют само рациональное выражение ${\displaystyle y=y(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$, то есть зависимость корней резольвенты как уравнения ${\displaystyle g(y)=0}$ от корней исходного уравнения.

Неформально, идея получения резольвент алгебраических уравнений, согласно Лагранжу, состоит в следующем. Составим некоторое, желательно как можно более простое, алгебраическое выражение от корней исходного уравнения со следующими свойствами:

Согласно теории циклических расширений, решение в радикалах общего алгебраического уравнения возможно до его степени не выше четвёртой. Ниже приводятся примеры резольвент алгебраических уравнений второй, третей и четвёртой степени от одной переменной, и показано (без привлечения общей теории и только элементарными вычислениями), как получить сами резольвенты и на их основании общее решение соответствующих уравнений.

Найдём линейную резольвенту. Запишем простейшее нетривиальное равенство, не меняющееся при перестановке ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ местами

---