Эрмитов оператор

---

В математике оператор ${\displaystyle A}$ в комплексном или действительном гильбертовом пространстве ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ называется эрмитовым, симметрическим, если он удовлетворяет равенству ${\displaystyle (Ax,y)=(x,Ay)}$ для всех ${\displaystyle x,y}$ из области определения ${\displaystyle A}$. Здесь и далее полагается, что ${\displaystyle (x,y)}$ — скалярное произведение в ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$. Название дано в честь французского математика Шарля Эрмита.

Оператор в ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ называется самосопряжённым, или гипермаксимальным эрмитовым, если он совпадает со своим сопряжённым.

Самосопряжённый оператор является симметрическим; обратное, вообще говоря, не верно. Для непрерывных операторов, определённых на всём пространстве, понятия симметрический и самосопряжённый совпадают.

Для всякого собственного значения ${\displaystyle \lambda }$ по определению верно ${\displaystyle A\left(x\right)=\lambda x}$. Следовательно, по определению самосопряжённого преобразования равны следующие выражения:

откуда ${\displaystyle \lambda ={\overline {\lambda }}}$ — число ${\displaystyle \lambda }$ вещественное.

2. В унитарных конечномерных пространствах матрица самосопряжённого оператора является эрмитовой. (В частности, в евклидовом пространстве матрица самосопряжённого оператора является симметрической.)

---