Символы Кристоффеля

---

Си́мволы Кристо́ффеля (или кристоффели) — коэффициенты координатного выражения аффинной связности, в частности, связности Леви-Чивиты. Названы в честь Эльвина Бруно Кристоффеля. Используются в дифференциальной геометрии, общей теории относительности и близких к ней теориях гравитации. Появляются в координатном выражении тензора кривизны. При этом сами символы тензорами не являются.

Обычно обозначаются ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$; иногда, следуя первоначальному обозначению Кристоффеля, используется^[1] символ ${\displaystyle \{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}.}$

Ниже используется правило суммирования Эйнштейна, то есть по повторяющимся верхнему и нижнему индексам подразумевается суммирование.

Символы впервые появились в статье Кристоффеля «О преобразовании однородных дифференциальных выражений второй степени» (нем. Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades — J. fur Math., № 70, 1869). В ней автор рассмотрел условия совпадения римановой геометрии, определяемой двумя различными метрическими формами. Независимо от Кристоффеля аналогичную задачу решил Рудольф Липшиц, чья статья появилась годом позже^[1].

Наглядное представление о символах Кристоффеля можно получить на примере полярной системы координат. В этой системе координатами точки являются расстояние${\displaystyle {r}}$ от неё до полюса и угол ${\displaystyle \varphi }$ направления от полярной оси.

Координатами вектора, как и в прямоугольной системе координат, следует считать дифференциалы (бесконечно малые приращения) этих величин: ${\displaystyle ({\rm {d}}r,\,{\rm {d}}\varphi )}$.

---