След (теория полей)

---

След (англ. Trace) — отображение элементов конечного расширения поля ${\displaystyle E\supset K}$ в исходное поле K, определяемое следующим образом:

Пусть E — конечное расширение K степени ${\displaystyle n=[E:K]}$, ${\displaystyle \alpha \in E}$ — элемент поля E. Поскольку E является векторным пространством над полем K, этот элемент определяет линейное преобразование ${\displaystyle x\mapsto \alpha x}$. Этому преобразованию в некотором базисе можно сопоставить матрицу. След этой матрицы называется следом элемента α. Так как в другом базисе данному отображению будет соответствовать подобная матрица с тем же следом, след не зависит от выбора базиса, то есть каждому элементу расширения однозначно сопоставляется его след. Он обозначается ${\displaystyle {\text{Tr}}_{K}^{E}(\alpha )}$ или, если понятно, о каком расширении идёт речь, просто ${\displaystyle {\text{Tr}}(\alpha )}$.

Пусть σ₁,σ₂…σ_m — все автоморфизмы E, оставляющие неподвижными элементы K. Если E сепарабельно, то m равно степени [E:К]=n. Тогда для следа существует следующее выражение:

${\displaystyle {\text{Tr}}_{K}^{E}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )+\ldots +\sigma _{m}(\alpha )}$

Если E несепарабельно то m≠n, но n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p: n=pⁱm.

---