Тензор напряжений

---

Те́нзор напряже́ний (иногда тензор напряжений Коши, тензор натяжений) — тензор второго ранга, описывающий механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела, возникающих в этой точке при его (тела) малых деформациях. В случае объёмного тела, тензор часто записывается в виде матрицы 3×3:

где ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(e_{n})}}$ — вектор механического напряжения, действующий на поверхность ${\displaystyle e_{n}}$.

В случае матричной записи (в декартовой системе координат) величины ${\displaystyle \sigma _{ij}}$(компоненты тензора напряжений), описывают напряжения испытываемые телом в какой-то заданной точке. В данной точке проводятся умозрительные плоскости с нормалями ${\displaystyle \color {Red}e_{1}}$, ${\displaystyle \color {Red}e_{2}}$, ... Нормальные компоненты сил, действующих на данные плоскости, записываются на главной диагонали ${\displaystyle \sigma _{11}}$, ${\displaystyle \sigma _{22}}$, ..., а в остальных позициях стоят касательные компоненты ${\displaystyle \tau _{yx}}$, ${\displaystyle \tau _{xy}}$, ... векторов напряжений на этих плоскостях.

В случае больших деформаций (конечные деформации), приходится использовать такие подходы как тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа, тензор Биота или тензор напряжения Кирхгофа.

Простейшей иллюстрацией, позволяющей понять физический смысл тензора напряжений, будет, вероятно, не рассмотрение случая напряжения в некотором объёмном теле, а, наоборот, рассмотрение напряжения в плоском двумерном теле. Для этого рассмотрим напряжение отрезка ткани под внешней нагрузкой (см. рис. А).

На рисунке изображен прямоугольный кусок ткани под внешней нагрузкой, которая изображена чёрными стрелками по периметру прямоугольника. В данном случае нагрузкой может служить растяжение её руками в разные стороны, или натягивание ткани на какую-то сложную форму.

---