Теорема Атьи — Зингера об индексе

---

Теорема Атьи — Зингера об индексе — утверждение о равенстве аналитического и топологических индексов эллиптического оператора на замкнутом многообразии^[1]. Установлено и доказано в 1963 году Майклом Атьёй и Изадором Зингером.

Результат способствовал обнаружению новых связей между алгебраической топологией, дифференциальной геометрией и глобальным анализом^[2], нашёл применение в теоретической физике, а исследование его обобщений сформировалось в отдельное направление ${\displaystyle K}$-теории — теорию индекса^[3].

Аналитический индекс дифференциального оператора ${\displaystyle d\colon C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)}$, где ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ — гладкие векторные расслоения над дифференцируемым замкнутым многообразием ${\displaystyle X}$, — это разность между размерностями его ядра и коядра:

Топологический индекс эллиптического оператора ${\displaystyle d\colon C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)}$ определяется как:

---