Теорема Безу (алгебраическая геометрия)

Теорема Безу — утверждение в алгебраической геометрии, описывающее число общих точек, или точек пересечения, двух плоских алгебраических кривых, не имеющих общей компоненты (то есть не имеющих бесконечно много общих точек). Теорема утверждает, что число общих точек таких кривых не превосходит произведения их степеней, и имеет место равенство, если учитывать бесконечно удалённые точки и точки с комплексными координатами (или, более общо, с координатами из алгебраического замыкания основного поля), и если точки считаются с кратностями, равными индексам пересечения^[en].

Теоремой Безу также называют обобщение на более высокие размерности: пусть имеется n однородных многочленов от n+1 переменной, степеней $d_{1},\ldots ,d_{n}$ , которые задают n гиперповерхностей в проективном пространстве размерности n. Если число точек пересечения гиперповерхностей конечно над алгебраическим замыканием основного поля, то оно равно $d_{1}\cdots d_{n}$ с учётом кратностей. Как и в случае кривых на плоскости, для аффинных гиперповерхностей, если не учитывать кратности и бесконечно удалённые точки, теорема предоставляет только верхнюю границу на число точек, которая часто достигается. Она известна как граница Безу.

Пусть X и Y — две плоские алгебраические кривые, определённые над полем F, которые не имеют общей компоненты (это условие означает, что X и Y определены многочленами, наибольший общий делитель которых является константой; в частности, это верно для двух «общих» кривых). Тогда общее число точек пересечения X и Y с координатами в алгебраически замкнутом поле E, содержащем F, подсчитанное с учётом кратностей, равно произведению степеней X и Y.