Теорема Вейерштрасса о функции на компакте

---

Теоре́ма Вейерштра́сса — теорема математического анализа и общей топологии, которая гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своих точных верхней и нижней граней^[1].

Иногда (в учебных курсах) два утверждения (об ограниченности и достижимости границ) разделяются на две теоремы Вейерштрасса — первую и вторую соответственно.^[1]

Теорема Вейерштрасса формулируется для непрерывных функций, действующих из заданного метрического пространства в множество вещественных чисел.

В математическом анализе рассматриваются числовые пространства, для которых компактными являются произвольные замкнутые и ограниченные множества. На вещественной прямой связные компактные множества — это отрезки, то теорема Вейерштрасса формулируется для отрезков:

Если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, то она ограничена на нём и притом достигает своих минимального и максимального значений, т. е. существуют ${\displaystyle x_{m},x_{M}\in [a,b]}$ такие, что ${\displaystyle f(x_{m})\leqslant f(x)\leqslant f(x_{M})}$ для всех ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

---