Теорема Жордана

---

Теорема Жордана — классическая теорема топологии, гласящая, что замкнутая плоская кривая без самопересечений делит плоскость на две различные части: «внутреннюю» и «внешнюю».

Теорема Жордана известна контрастом между простотой её формулировки и сложностью доказательства. Такой контраст в первую очередь связан с существованием «диких» кривых, таких как замкнутые кривые Осгуда. В случае кривых специального вида, таких как ломаные, утверждение доказывается относительно просто^[1].

Некоторые авторы утверждают, что доказательство Жордана не было вполне исчерпывающим, а первое полное доказательство было дано Освальдом Вебленом в 1905 году^[2]. Однако Томас Хейлс^[англ.] пишет, что доказательство Жордана не содержит ошибок, и единственная возможная претензия по отношению к этому доказательству состоит в том, что Жордан предполагает известным утверждение теоремы в случае ломаных^[3].

Любая замкнутая кривая Жордана ${\displaystyle \gamma }$ на плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ разбивает её на две компоненты и является их общей границей^[4].

Из двух таких компонент ровно одна является ограниченной. Ограниченная компонента называется внутренней частью кривой ${\displaystyle \gamma }$, а неограниченная — внешней.

Данные компоненты можно охарактеризовать в терминах порядка точки относительно кривой. А именно, множество точек плоскости, порядок которых относительно кривой ${\displaystyle \gamma }$ равен ${\displaystyle 1}$ или ${\displaystyle -1}$, совпадает с её внутренней частью, а множество точек, порядок которых равен ${\displaystyle 0}$, совпадает с внешней часть.

---