Теорема Рао — Блэквелла — Колмогорова

---

Теорема Рао — Блэквелла — Колмогорова — утверждение в математической статистике, на основе которого можно улучшать статистические оценки параметров.

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с распределением, зависящим от некоторого неизвестного параметра ${\displaystyle \theta \in \Theta .}$ Пусть ${\displaystyle {\hat {\theta }}(X)}$ — некоторая статистическая оценка этого неизвестного параметра с конечной матрицей вторичных моментов, а ${\displaystyle T=\mathrm {T} (X)\;}$ — достаточная статистика для параметра ${\displaystyle \theta .}$ Тогда существует ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{1}(X)={\textrm {E}}[{\hat {\theta }}(X)|T(X)]}$ и кроме того ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{1}(X)}$ является лучшей оценкой параметра в смысле среднеквадратичного отклонения, то есть для любого вектора z необходимой размерности выполняется неравенство:

Равенство выполняется лишь тогда, когда ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ является измеримой функцией от T.

Доказательство для случая когда параметр является одним числом, то есть его размерность равна единице. Тогда

---