Произведение топологических пространств

---

Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения^[1][2] или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.

Тихоновская топология на ${\displaystyle X}$ — это наиболее грубая топология (то есть топология с наименьшим числом открытых множеств), для которой все проекции ${\displaystyle p_{\alpha }}$ непрерывны. Открытые множества этой топологии — всевозможные объединения множеств вида ${\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i}}$, где каждое ${\displaystyle U_{i}}$ является открытым подмножеством ${\displaystyle X_{i}}$ и ${\displaystyle U_{i}\neq X_{i}}$ только для конечного числа индексов. В частности, открытые множества произведения конечного числа пространств — это просто объединения произведений открытых подмножеств исходных пространств.

Также топологию Тихонова можно описать следующим образом: в качестве предбазы топологии на ${\displaystyle X}$ берётся семейство множеств ${\displaystyle {\mathfrak {P}}=\{p_{\alpha }^{-1}(U):\alpha \in A,\,U\in {\mathfrak {T}}_{\alpha }\}}$. База топологии — всевозможные конечные пересечения множеств из ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$, а топология — всевозможные объединения множеств из базы.

---