Топология Гротендика

---

Топология Гротендика — структура на категории, которая делает её объекты похожими на открытые множества топологического пространства. Категория вместе с топологией Гротендика называется ситусом^[1] или сайтом^[2].

Топологии Гротендика аксиоматизируют определение открытого покрытия, благодаря чему становится возможным определение пучков на категории и их когомологий, что впервые осуществлено Александром Гротендиком для этальных когомологий схем.

Существует естественный способ сопоставить топологическому пространству топологию Гротендика, в этом смысле она может быть рассмотрена как обобщение обычных топологий. При этом для большого класса топологических пространств возможно восстановить топологию по её топологии Гротендика, однако уже для антидискретного пространства это не так.

Классическое определение пучка начинается с некоторого топологического пространства ${\displaystyle X}$. Ему сопоставляется категория ${\displaystyle O(X)}$, объекты которой — открытые множества топологии, а множество морфизмов между двумя объектами состоит из одного элемента, если первое множество вложено во второе (эти отображения называют открытыми вложениями), и пусто иначе. После этого предпучок определяется как контравариантный функтор в категорию множеств, а пучок — как предпучок, удовлетворяющий аксиоме склейки^[англ.]. Аксиома склейки формулируется в терминах поточечного покрытия, то есть ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ покрывает ${\displaystyle U}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \bigcup {_{i}}U_{i}=U}$. Топологии Гротендика заменяют каждое ${\displaystyle U_{i}}$ целым семейством открытых множеств; более точно, ${\displaystyle U_{i}}$ заменяется семейством открытых вложений ${\displaystyle V_{ij}\to U_{i}}$. Такое семейство называется решетом.

---