Трёхмерное многообразие

---

Трёхмерное многообразие — топологическое пространство, локально устроенное как трёхмерное евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Иными словами, многообразие размерности три. Является центральным понятием трёхмерной топологии.

Теория трёхмерных многообразий предоставляет математический аппарат для описания возможных форм Вселенной. Так, для достаточно малого наблюдателя все трёхмерные многообразия похожи на нашу Вселенную подобно тому, как для землян поверхность Земли похожа на плоскость.

Топологическое пространство называется трёхмерным многообразием, если каждая его точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству трёхмерного евклидова полупространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{\geq 0}}$, а само оно хаусдорфово и имеет счётную базу^[1].

Точки многообразия делятся на два непересекающихся типа: внутренние и граничные. А именно, точки, имеющие окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству трёхмерного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, называются внутренними, а остальные — граничными. Множество всех внутренних точек многообразия называется его внутренностью, а дополнение внутренности, т. е. множество всех граничных точек, — краем многообразия.

Если край трёхмерного многообразия не пуст, то он является двумерным многообразием, край которого пуст.

Если край многообразия пуст, то говорят, что оно не имеет края или без края. Многообразие без края называется замкнутым, если оно компактно, и открытым — иначе.

---