Уравнение Гельмгольца

---

где ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}$ — это оператор Лапласа, а неизвестная функция ${\displaystyle U}$ определена в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (на практике уравнение Гельмгольца применяется для ${\displaystyle n=1,2,3}$).

Как легко заметить, в уравнение Гельмгольца не входят операторы дифференцирования по времени, следовательно, сведение исходной задачи в частных производных к уравнению Гельмгольца может упростить её решение. Рассмотрим волновое уравнение

где ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ — многомерная пространственная переменная. Пусть функции ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle f}$ допускают разделение: ${\displaystyle u(x,t)=U(x)T(t),\ f(x,t)=F(x)T(t)}$, и пусть ${\displaystyle T(t)=e^{i\omega t}}$. Поскольку в пространстве фурье-преобразований дифференцирование по времени соответствует умножению на множитель ${\displaystyle i\omega }$, наше уравнение приводится к виду

где ${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k^{2}}$ — это квадрат модуля волнового вектора.

---