Уравнение Ланжевена

---

Первое уравнение, изученное Ланжевеном, описывало броуновское движение с постоянным потенциалом, то есть ускорение ${\displaystyle \mathbf {a} }$ броуновской частицы массы ${\displaystyle m}$ выражается через сумму силы вязкого трения, которая пропорциональна скорости частицы ${\displaystyle \mathbf {v} }$ (закон Стокса), шумового члена ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}(t)}$ (название, которое используется в физике для обозначения стохастического процесса в дифференциальном уравнении) — за счёт непрерывных соударений частицы с молекулами жидкости, и ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (\mathbf {x} )}$ — систематической силы, возникающей при внутримолекулярных и межмолекулярных взаимодействиях:

Перепишем уравнение Ланжевена без внешних сил. Кроме того, без потери общности можно рассматривать только одну из координат.

где b — некоторая константа, которую мы определим позже, ${\displaystyle \delta (t_{1}-t_{2})}$ — дельта-функция Дирака. Угловыми скобками обозначено усреднение по времени. Это т. н. дельта-коррелированая случайная величина: её автокорреляционная функция равна дельта-функции. Такой случайный процесс также называется белым шумом.

Пусть в начальный момент времени ${\displaystyle t=t_{0}}$ частица имела скорость ${\displaystyle v_{0}}$. Будем искать решение в виде: ${\displaystyle v(t)=u(t)\exp(-\lambda t)}$, тогда для ${\displaystyle u(t)}$ получим следующее дифференциальное уравнение:

---