Уравнение Лейна — Эмдена

---

Уравнение Лейна — Эмдена в астрофизике — безразмерная форма уравнения Пуассона для гравитационного потенциала ньютоновской самогравитирующей сферически-симметричной политропной жидкости. Уравнение носит название по фамилиям астрофизиков Джонатана Лейна и Роберта Эмдена.^[1] Уравнение имеет вид

где ${\displaystyle \xi }$ — безразмерный радиус, ${\displaystyle \theta }$ связано с плотностью и, следовательно, с давлением, соотношением ${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}$ для центральной плотности ${\displaystyle \rho _{c}}$. Показатель ${\displaystyle n}$ является индексом политропы, упоминаемым в политропном уравнении состояния

где ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle \rho }$ — давление и плотность, ${\displaystyle K}$ — коэффициент пропорциональности. Стандартные начальные условия: ${\displaystyle \theta (0)=1}$ и ${\displaystyle \theta '(0)=0}$. Решения описывают зависимость давления и плотности от радиуса и представляют политропы с индексом ${\displaystyle n}$. Если вместо политропного вещества рассматривается изотермическое, то уравнение называют уравнением Чандрасекара.

В физическом смысле гидростатическое равновесие связывает градиент потенциала, плотность и градиент давления, уравнение Пуассона связывает потенциал и плотность. Следовательно, если существует уравнение, связывающее изменение давления с изменением плотности, то можно получить решение данной задачи. Выбор политропного газа, рассматриваемого в задаче, обеспечивает краткое формулирование задачи и приводит к уравнению Лейна — Эмдена. Уравнение является важной аппроксимацией для параметров самогравитирующих шаров плазмы, таких как звёзды, но всё же это приближение налагает ограничения на модель.

Рассмотрим самогравитирующее сферически-симметричное распределение жидкости в состоянии гидростатического равновесия. Масса сохраняется, вещество описывается уравнением неразрывности:

где ${\displaystyle \rho }$ является функцией ${\displaystyle r}$. Уравнение гидростатического равновесия имеет вид

---