Уравнение Пуассона

---

Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает

где ${\displaystyle \varphi }$ — искомая функция, ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа, или лапласиан, а ${\displaystyle f}$ — заданная вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ (${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла) и уравнение Пуассона принимает вид:

Уравнение Пуассона с ${\displaystyle f\equiv 0}$ называется уравнением Лапласа:

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».

Уравнение Пуассона является одним из важнейших уравнений электростатики. Оно широко используется для нахождения электростатического потенциала ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$ (${\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }$ — радиус-вектор) для известного распределения заряда.

---