Эллиптическое уравнение

---

Эллиптические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарные процессы.

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции ${\displaystyle u:R^{n}\rightarrow R}$:

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$. Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

где ${\displaystyle A=A^{T}}$.
Матрица ${\displaystyle A}$ называется матрицей главных коэффициентов.
Если все собственные значения матрицы ${\displaystyle A}$ имеют одинаковый знак, то уравнение относят к эллиптическому типу^[1].
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется эллиптическим, если оно представимо в виде:

Эллиптические уравнения противопоставляются параболическим и гиперболическим, хотя данная классификация не является исчерпывающей.

Для аналитического решения эллиптических уравнений при заданных граничных условияхприменяют метод разделения переменных Фурье, метод функции Грина и метод потенциалов.

---