Уравнение Орнштейна — Цернике

---

Уравнение Орнштейна — Цернике — интегральное уравнение статистической механики для определения прямой корреляционной функции. Оно описывает, как может быть рассчитана корреляция между двумя молекулами, точнее корреляция плотности между двумя точками. Применение в основном обнаруживается в теории жидкости.

Можно получить уравнение Орнштейна-Цернике из следующих эвристических соображений. Удобно ввести полную корреляционную функцию:

которая является мерой для «воздействия» молекулы 1 на молекулу 2, расположенную на расстоянии ${\displaystyle r_{12}}$ от первой, в системе с радиальной функцией распределения ${\displaystyle g(r_{12})}$. В 1914 году Орнштейн и Цернике предложили разделить это влияние на два вклада: прямой и косвенный. Прямой вклад по определению задаётся прямой корреляционной функцией, обозначаемой ${\displaystyle c(r_{12})}$. Косвенный вклад связан с влиянием молекулы 1 на третью молекулу 3, которая, в свою очередь, влияет на молекулу 2, непосредственно. Такое опосредованное воздействие умножается на плотность и усредняется по всем возможным положениях координаты молекулы 3. Математически это можно записать в виде формулы

Чтобы разрешить уравнение Орштейна — Цернике, в него добавляют еще одно приближённое уравнение, которое связывает ${\displaystyle h(r)}$ с ${\displaystyle c(r)}$, полученное из модельных соображений. В результате получим одно интегральное или интегро-дифференциальное уравнение, из которого можно найти ${\displaystyle h(r)}$. Самые распространённые приближения:

В рамках теории Орштейна — Цернике можно, не вдаваясь в детальный вид функции ${\displaystyle c(r)}$, а предположив лишь, что она является короткодействующей, описать асимптотику поведения ${\displaystyle h(r)}$ при ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$:

---