Уравнение Фоккера — Планка

---

Уравнение Фоккера — Планка — одно из дифференциальных уравнений в частных производных, описывает временну́ю эволюцию функции плотности вероятности координат и импульса частиц в процессах, где важна стохастическая природа явления. Названо в честь нидерландского и немецкого физиков Адриана Фоккера и Макса Планка, также известно как прямое уравнение Колмогорова. Может быть обобщено на другие измеримые параметры: размер (в теории коалесценции), масса и т. д.

Впервые уравнение было использовано для статистического описания броуновского движения частиц в воде. Хотя броуновское движение описывается уравнениями Ланжевена, которые могут быть решены численно методом Монте-Карло или методами молекулярной динамики, задачу в такой постановке часто трудно решить аналитически. И, вместо сложных численных схем, можно ввести функцию плотности вероятности ${\displaystyle W(\mathbf {v} ,\;t)}$, описывающую вероятность того, что частица имеет скорость в интервале ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\;\mathbf {v} +d\mathbf {v} )}$, если в момент времени 0 она имела начальную скорость ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$, и записать для ${\displaystyle W(\mathbf {v} ,\;t)}$ уравнения Фоккера — Планка.

Общая форма уравнения Фоккера — Планка для ${\displaystyle N}$ переменных:

где ${\displaystyle D^{1}}$ — вектор сноса и ${\displaystyle D^{2}}$ — тензор диффузии, причём диффузия вызвана действием сил стохастической природы.

Уравнение Фоккера — Планка может быть использовано для расчёта плотности вероятности в стохастических дифференциальных уравнениях. Рассмотрим следующее стохастическое дифференциальное уравнение

---