Функции параболического цилиндра

---

Фу́нкции параболи́ческого цили́ндра (функции Вебера) — общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца и др. в системе координат параболического цилиндра.

решения которого называются функциями Вебера и обозначаются ${\displaystyle D_{\nu }(z).}$

Функции ${\displaystyle D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z),D_{-\nu -1}(iz),D_{-\nu -1}(-iz)}$ являются решениями уравнения Вебера, причём при нецелом ${\displaystyle \nu }$ функции ${\displaystyle D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z)}$ линейно независимы. Для всех ${\displaystyle \nu }$ функции ${\displaystyle D_{\nu }(z),D_{-\nu -1}(\pm iz)}$ также линейно независимы.

На практике часто пользуются и другими функциями параболического цилиндра — функциями Эрмита, являющихся решениями уравнения Эрмита, которое получается из ${\displaystyle (1)}$ заменой ${\displaystyle f(\alpha z+\beta )=e^{-z^{2}}y(z)}$

---