Функционал Минковского

---

Функционал Минковского — функционал, использующий линейную структуру пространства для введения топологии на нём. Назван по имени немецкого математика Германа Минковского.

Для любого векторного пространства ${\displaystyle X}$ (вещественного или комплексного) и его подмножества ${\displaystyle K}$ функционал Минковского ${\displaystyle \ \mu _{K}:X\rightarrow [0,\infty )}$ определяется как:

Предполагается, что ${\displaystyle 0\in K}$ и множество ${\displaystyle \{r>0\mid x\in rK\}}$ непусто. При дополнительных условиях на ${\displaystyle K}$ функционал будет обладать свойствами полунормы, а именно:

Функционал Минковского можно использовать для задания топологии в пространстве, так как для выпуклых замкнутых множеств ${\displaystyle K}$, содержащих 0, он обладает свойствами полунормы. Он также позволяет установить соответствие (одно из проявлений двойственности Минковского) между множествами в ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle X^{*}}$, так как обладает свойствами опорной функции в сопряжённом пространстве. Пусть ${\displaystyle X}$ — конечномерное евклидово пространство. Для любого множества ${\displaystyle K\subseteq X}$ сопряжённое множество ${\displaystyle K^{*}\subseteq X^{*}}$ вводится как множество, опорная функция ${\displaystyle s(p,K^{*})}$ которого на векторах ${\displaystyle p\in X}$ совпадает с ${\displaystyle p_{K}}$:

При этом для любого выпуклого замкнутого сбалансированного ${\displaystyle K}$ выполнено:

---