Функция правдоподобия

---

Фу́нкция правдоподо́бия в математической статистике — это совместное распределение выборки из параметрического распределения, рассматриваемое как функция параметра. При этом используется совместная функция плотности (в случае выборки из непрерывного распределения) либо совместная вероятность (в случае выборки из дискретного распределения), вычисленные для данных выборочных значений.

Если распределение вероятности зависит от параметра ${\displaystyle \theta }$, то, с одной стороны, можно рассматривать условную вероятность событий ${\displaystyle x}$ при заданном параметре ${\displaystyle \theta }$, а с другой стороны — вероятность заданного события ${\displaystyle X}$ при различных значениях параметра ${\displaystyle \theta }$. Первый случай соответствует функции, зависящей от события ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle P(x)=P(x\mid \theta )}$, а второй — функции, зависящей от параметра ${\displaystyle \theta }$ при фиксированном событии ${\displaystyle X}$: ${\displaystyle L(\theta )=L(\theta \mid x=X)}$. Последнее выражение и есть функция правдоподобия и показывает, насколько правдоподобно выбранное значение параметра ${\displaystyle \theta }$ при известном событии ${\displaystyle X}$.

Неформально: если вероятность позволяет нам предсказывать неизвестные результаты, основанные на известных параметрах, то правдоподобие позволяет нам оценивать неизвестные параметры, основанные на известных результатах.

Важно понимать, что по абсолютному значению правдоподобия нельзя делать никаких вероятностных суждений. Правдоподобие позволяет сравнить несколько вероятностных распределений с разными параметрами и оценить в контексте какого из них наблюдаемые события наиболее вероятны.

---