Размерность Хаусдорфа

---

Размерность Хаусдорфа, или хаусдорфова размерность — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.

Определение размерности Хаусдорфа состоит из нескольких шагов. Пусть ${\displaystyle \Omega }$ — ограниченное множество в метрическом пространстве ${\displaystyle X}$.

Пусть ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Не более чем счётный набор ${\displaystyle \{\omega _{i}\}_{i\in I}}$ подмножеств пространства ${\displaystyle X}$ будем называть ${\displaystyle \varepsilon }$-покрытием множества ${\displaystyle \Omega }$, если выполнены следующие два свойства:

Пусть ${\displaystyle \alpha >0}$. Пусть ${\displaystyle \Theta =\{\omega _{i}\}_{i\in I}}$ — покрытие множества ${\displaystyle \Omega }$. Определим следующую функцию, в некотором смысле показывающую «размер» этого покрытия: ${\displaystyle F_{\alpha }(\Theta ):=\sum \limits _{i\in I}|\omega _{i}|^{\alpha }}$.

---