Целая часть

---

В математике, целая часть вещественного числа ${\displaystyle x}$ — округление ${\displaystyle x}$ до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье (фр. entier), или пол (англ. floor). Наряду с полом существует парная функция — потолок (англ. ceiling) — округление ${\displaystyle x}$ до ближайшего целого в большую сторону.

Впервые квадратные скобки (${\displaystyle [x]}$) для обозначения целой части числа ${\displaystyle x}$ использовал Гаусс в 1808 году в своём доказательстве закона квадратичной взаимности^[1]. Это обозначение считалось стандартным^[2], пока Кеннет Айверсон в своей книге «A Programming Language», опубликованной в 1962 году, не предложил^[3][4][5] округление числа ${\displaystyle x}$ до ближайшего целого в меньшую и большую стороны называть «пол» и «потолок» ${\displaystyle x}$ и обозначать ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ и ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ соответственно.

В современной математике используются оба обозначения^[6], ${\displaystyle [x]}$ и ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$, однако всё более и более преимущественно применяют терминологию и обозначения Айверсона: одна из причин состоит в том, что для отрицательных чисел понятие «целая часть числа» уже является неоднозначным^[5]. Например, целая часть числа 2,7 равна 2, но на то, как определить целую часть числа −2,7, уже возможны две точки зрения: по определению, данному в этой статье, ${\displaystyle [x]\equiv \lfloor x\rfloor =-3}$, однако в некоторых калькуляторах функция целой части INT для отрицательных чисел определяется как INT(–x) = –INT(x), так что INT(–2,7) = −2. Терминология Айверсона лишена этих недостатков:

Функция «пол» ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor \colon x\mapsto \lfloor x\rfloor }$ определяется как наибольшее целое, меньшее или равное ${\displaystyle x}$:

---