Число Перрена
Эта последовательность была упомянута Эдуардом Люка́ (Édouard Lucas) в 1876-м. В 1899-м ту же самую последовательность использовал в явном виде Перрен. Наиболее глубокое изучение этой последовательности было сделано Адамсом (Adams) и Шанксом (Shanks) (1982).
Последовательность чисел Перрена может быть записана в терминах степени корней характеристического уравнения
Это уравнение имеет три корня. Один из этих корней p вещественный (известен как пластическое число). Используя его и два сопряженных комплексных корня q и r, можно выразить число Перрена аналогично формуле Бине для чисел Люка:
Поскольку абсолютные значения комплексных корней q и r меньше 1, степени этих корней будут стремиться к 0 при увеличении n. Для больших n формула упрощается до
Эта формула может быть использована для быстрого вычисления чисел Перрена для больших n. Отношение последовательных членов последовательности Перрена стремится к p ≈ 1.324718. Эта константа играет ту же роль для последовательности Перрена, что и золотое сечение для чисел Люка. Аналогичная связь существует между p и последовательностью Падована, между золотым сечением и числами Фибоначчи, а также между серебряным сечением и числами Пелля.
Что дает нам систему из трех линейных уравнений с коэффициентами из поля разложения многочлена . Вычислив обратную матрицу, мы можем решить уравнения и получить . Затем мы можем возвести в степень k все три полученных значения и посчитать сумму.
