Задача о пушечных ядрах

---

Задача о пушечных ядрах (англ. cannonball problem) — задача о нахождении числа пушечных ядер, которые можно уложить и в один слой в форме квадрата, и в форме пирамиды с квадратом в основании, то есть о нахождении квадратных чисел, также являющихся квадратными пирамидальными числами. Нахождение этого числа сводится к решению диофантова уравнения ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}}$ или ${\displaystyle {\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}}$. Уравнение имеет два решения: ${\displaystyle N=1}$ и ${\displaystyle M=1}$, то есть одно пушечное ядро, и ${\displaystyle N=24}$ и ${\displaystyle M=70}$, то есть 4900 пушечных ядер.

Вопросы укладки пушечных ядер интересовали уже сэра Уолтера Рэли и его современника Томаса Хэрриота^[1], однако в приведённой выше форме она была сформулирована в 1875 году Эдуаром Люка, предположившим, что кроме ${\displaystyle N=1}$ и ${\displaystyle N=24}$ других решений не существует^[2]. Частичные доказательства были предложены Море-Бланом (1876)^[3] и самим Люка (1877)^[4]. Первое полное доказательство было предложено Уотсоном (1918)^[5]; доказательство использовало эллиптические функции^[6]. Ещё одно доказательство было предложено Люнггреном^[англ.] (1952)^[7] с использованием уравнения Пелля^[8]. Доказательства с использованием только элементарных функций были предложены Ма (1985)^[9] и Энглином (1990)^[10][6].

Доказательство Уотсона^[5] основано на наблюдении, что из трёх чисел ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle N+1}$ и ${\displaystyle 2N+1}$ одно должно делиться на 3; и либо ${\displaystyle N}$, либо ${\displaystyle N+1}$ должно быть чётным; и что все остальные множители должны быть квадратами. Тем самым возможны шесть вариантов:

---