Coq (фр. coq — петух) — интерактивное программное средство доказательства теорем, использующее собственный язык функционального программирования (Gallina)[2] с зависимыми типами. Позволяет записывать математические теоремы и их доказательства, удобно модифицировать их, проверяет их на правильность. Пользователь интерактивно создаёт доказательство сверху вниз, начиная с цели (то есть от гипотезы, которую необходимо доказать). Coq может автоматически находить доказательства в некоторых ограниченных теориях с помощью так называемых тактик. Coq применяется для верификации программ.
Coq разработан во Франции в рамках проекта TypiCal (ранее — LogiCal)[3], совместно управляемом INRIA, Политехнической школой, Университетом Париж-юг XI и Национальным центром научных исследований, ранее была выделенная группа и в Высшей нормальной школе Лиона.
Теоретической базой Coq считается исчисление конструкций; в названии скрыта его аббревиатура (CoC, англ. calculus of constructions) и сокращение от фамилии создателя исчисления — Тьерри Кокана.
Здесь использована конструкция сопоставления с образцом, в частности, (S n') — это сопоставление с конструктором S, представляющим следующее натуральное число.
cf — определение композиции функций. Notation вводит инфиксное обозначение @ для композиции функций.
cf_assoc — собственно доказательство. Coq основан на изоморфизме Карри — Ховарда, поэтому доказательство есть терм лямбда-исчисления.