N-группа (теория групп)

---

N-группа — это группа, все локальные подгруппы (то есть нормализаторы нетривиальных p-подгрупп) которой разрешимы. Неразрешимые случаи Томпсон классифицировал во время работы по поиску всех минимальных конечных простых групп.

Простые N-группы классифицировал Томпсон^{[1][2][3][4][5][6]} в серии из 6 статей общим объёмом около 400 страниц.

Простые N-группы состоят из специальных линейных групп ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(q),\mathrm {PSL} _{3}(3)}$, групп Сузуки^[англ.] ${\displaystyle \mathrm {Sz} (2^{2n+1})}$, унитарной группы ${\displaystyle \mathrm {U} _{3}(3)}$, знакопеременной группы A₇, группы Матьё M₁₁ и группы Титса. (Группа Титса была опущена в исходном докладе Томпсона в 1968, но Хирн указал, что она также является простой N-группой). Более обще, Томпсон показал, что любая неразрешимая N-группа является подгруппой Aut(G), содержащей G для некоторой простой N-группы G.

Горенстейн и Лайонс^[7] обобщили теорему Томпсона на случай групп, у которых все 2-локальные подгруппы разрешимы. Единственные простые группы, которые при этом добавилась — это унитарные группы U₃(q).

Простые числа, делящие порядок группы, делятся на четыре класса ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2},\pi _{3},\pi _{4}}$

Доказательство делится на несколько случаев, в зависимости от того, какому из этих четырёх классов простое 2 принадлежит, а также от целого e, которое является наибольшим целым, для которого существует элементарная абелева^[англ.] подгруппа ранга e, нормализованная нетривиальной 2-подгруппой.

---