p-адическое число

---

p-адическое число^[1] — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа p как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на p.

Поле p-адических чисел обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ или ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}$.

Целым p-адическим числом для заданного простого p называется^[3] бесконечная последовательность ${\displaystyle x=\{x_{1},x_{2},\ldots \}}$ вычетов ${\displaystyle x_{n}}$ по модулю ${\displaystyle p^{n}}$, удовлетворяющих условию:

Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца. Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.

В терминах проективных пределов кольцо целых ${\displaystyle p}$-адических чисел определяется как предел

---