В математике набор η - это тип полностью упорядоченного множества, введенный Хаусдорфом ( 1907 , стр. 126, 1914 , глава 6, раздел 8), который обобщает порядок порядка η рациональных чисел.
Определение
Если α ординал, то набор η α является полностью упорядоченным множеством, так что если X и Y - два подмножества мощности меньше ℵ α такие, что каждый элемент X меньше любого элемента Y, то существует некоторый элемент больше, чем все элементы X и меньше всех элементов Y .
Примеры
Единственное непустое счетное η 0 множество (с точностью до изоморфизма) - это упорядоченное множество рациональных чисел.
Предположим, что κ = ℵ α - регулярный кардинал, и пусть X - множество всех функций f от κ до {−1,0,1} таких, что если f (α) = 0, то f (β) = 0 для всех β > α, упорядоченный лексикографически. Тогда X - множество п а . Объединение всех этих множеств - класс сюрреалистических чисел .
Плотное упорядоченное множество без конечных точек является п & alpha ; множество тогда и только тогда , когда она ℵ & alpha ; насыщенной .
Характеристики
Любой п & alpha ; множество X является универсальным для вполне упорядоченных множеств мощности в большинстве ℵ альфа , что означает , что любой такой набор может быть встроен в X .
Для любого заданного ординала α любые два набора η α мощности ℵ α изоморфны (как упорядоченные множества). Множество η α мощности ℵ α существует, если ℵ α регулярное и β <α 2 ℵ β ≤ ℵ α .
Рекомендации
- Аллинг, Норман Л. (1962), "О существовании вещественно-замкнутых полей, которые являются η α -множествами степени α .", Trans. Амер. Математика. Soc. , 103 : 341-352, DOI : 10,1090 / S0002-9947-1962-0146089-X , МР 0146089
- Чанг, Чен Чунг ; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973]. Теория моделей . Исследования по логике и основам математики (3-е изд.). Эльзевир. ISBN 978-0-444-88054-3.
- Фельгнер, У. (2002), "Die Hausdorffsche Theorie der ηα-Mengen und ihre Wirkungsgeschichte" (PDF) , Hausdorff Gesammelte Werke , II , Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag, стр. 645–674
- Hausdorff (1907), "Untersuchungen über Ordnungstypen V", Ber. über die Verhandlungen der Königl. Sächs. Ges. Der Wiss. Zu Leipzig. Матем.-физ. Klasse , 59 : 105–159Английский перевод в Хаусдорфе (2005)
- Хаусдорф, Ф. (1914), Grundzüge der Mengenlehre , Лейпциг: Veit & Co
- Хаусдорф, Феликс (2005), Плоткин, Дж. М. (ред.), Хаусдорф об упорядоченных множествах , История математики, 25 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3788-5, Руководство по ремонту 2187098